Actualizado el jueves, 15 diciembre, 2022
Zero (por Charles Seife) es la fascinante historia de un número prohibido por los antiguos griegos y adorado por los antiguos indios. El cero, así como su gemelo, el infinito, es un número que ha estado en el corazón de las matemáticas y la filosofía a lo largo de los siglos.
El cero no existía en los primeros días de las matemáticas, y en Babilonia, donde se inventó por primera vez, era simplemente un marcador de posición. A pesar de la destreza de los antiguos griegos en matemáticas, Aristóteles prohibió el cero. Esto significó que no fue completamente apreciado en el mundo occidental durante muchos siglos. En lugares como la India, sin embargo, fue aceptado y las matemáticas progresaron enormemente. Desde entonces, el cero ha ganado el lugar que le corresponde en el sistema de números, junto con su gemelo, el infinito. Y ha demostrado ser un componente vital pero misterioso de cada nuevo concepto en matemáticas o física, desde el cálculo hasta la relatividad.
Descubre la historia de un número herético
El cero es un tipo de número curioso. No es como 4, 32 u 83.
Cuando sumas cero a otros números, no pasa nada. Cuando multiplicas otros números por cero, siempre obtienes cero. Y cuando divides por cero, se desata el infierno.
Es un número tan extraño, de hecho, que en el mundo antiguo muchos grandes matemáticos negaron su existencia por completo. Y, en los tiempos modernos, incluso el filósofo René Descartes afirmó que no era real.
Pero desde su eventual aceptación, se ha encontrado en el corazón de casi todos los avances en matemáticas o física. ¿Cómo es eso? Estás a punto de averiguarlo.
En estas claves de la historia de las matemáticas, aprenderás
- por qué los babilonios inventaron el cero;
- por qué Aristóteles lo prohibió; y
- por qué el infinito es gemelo del cero.
¿Cuándo surgió por primera vez el número cero?
El cero no existía en los primeros días de las matemáticas; surgió por primera vez en la antigua Babilonia.
¿Te imaginas un mundo con cero números?
En la Edad de Piedra, así eran las cosas, hasta que algunos cavernícolas emprendedores comenzaron a tallar muescas en un hueso de lobo.
¿Qué estaban contando? No lo sabemos Pero debe haber sido algo práctico, como animales o puntas de lanza. Debido a que las matemáticas prehistóricas eran estrictamente funcionales, no había necesidad del concepto de cero.
Pero, con el tiempo, las matemáticas avanzaron y la gente desarrolló complejos sistemas de conteo. Y los antiguos babilonios finalmente se dieron cuenta de que faltaba algo, o mejor dicho, nada.
Para comprender por qué apareció el cero por primera vez, necesitará saber cómo funcionaba el antiguo sistema de conteo babilónico. Entonces, aquí hay un desglose rápido.
Probablemente, sepa que nuestro sistema de conteo moderno es decimal, o en base 10: agrupamos las cosas en 1, 10 y 100. Pero en la antigua Babilonia, el sistema era sexagesimal : estaba en base 60. Y escucha esto: solo tenía dos símbolos.
Esos dos símbolos representaban «1» y «10». Los babilonios simplemente repetían esos símbolos tantas veces como fuera necesario, al igual que en el sistema romano posterior, mejor conocido. Cincuenta, por ejemplo, sería cinco veces el símbolo «10»; cincuenta y uno sería lo mismo más un símbolo «1», y así sucesivamente, hasta llegar a 60.
Aquí está la parte confusa: a los 60, simplemente comenzarían de nuevo con el símbolo «1». Sesenta y 1 estaban representados por el mismo símbolo. Y así fue 60 por 60, o 3.600.
Si estás pensando que suena ambiguo, tienes razón. Pero fue especialmente ambiguo cuando se trataba de números como 61 y 3601. Ambos estaban representados simplemente por dos símbolos «1», uno al lado del otro. Entonces, ¿cómo podrías saber la diferencia entre ellos?
Finalmente, los babilonios encontraron una solución: cero. Para escribir 3601, escribieron un símbolo totalmente nuevo entre los dos símbolos «1»; esto dejó en claro que el primer número no era 60, sino un grado más alto. Este fue el nacimiento del cero.
Pero esto todavía no era nuestro cero moderno. Realmente, era solo un marcador de posición que denotaba una ausencia. Fue solo más tarde que las extrañas y místicas propiedades del cero se hicieron completamente evidentes, para asombro y horror de los antiguos griegos.
¿Qué matemáticos y filósofos rechazaron el número cero?
Los antiguos griegos de mentalidad filosófica rechazaron el cero a pesar de su utilidad
Para muchas civilizaciones antiguas, los números eran simplemente herramientas para contar y dividir la tierra. Para los antiguos griegos, sin embargo, los números eran toda una filosofía. Los matemáticos-filósofos como Pitágoras vieron una armonía de números dentro de cada forma.
Pero los antiguos griegos no estaban de acuerdo con cero, en absoluto. De hecho, Aristóteles declaró que simplemente no existía; era simplemente un producto de la imaginación del hombre. Y sus puntos de vista sobre este tema, como sobre muchos otros, resonaron a lo largo de los siglos, en detrimento de las matemáticas en el mundo occidental.
La sabiduría convencional en la antigua Grecia era que el cero no existía. Pero un filósofo, Zeno, ideó una paradoja que cuestionaba esta creencia aceptada.
Imagina al gran atleta Aquiles compitiendo contra una tortuga. La tortuga tiene una ventaja inicial de un pie. ¿Puede Aquiles alcanzar a la tortuga y ganar?
Bueno, Aquiles compensa la ventaja de un pie de la tortuga en, digamos, un segundo. Pero para ese momento, la tortuga se ha movido un poco más. Bien, entonces Aquiles llega al nuevo punto de la tortuga en una fracción de segundo, pero la tortuga, por supuesto, ya se ha adelantado de nuevo. Y así sucesivamente, y así hasta el infinito.
Cada vez que Aquiles alcanza el lugar donde estaba la tortuga , ya ha avanzado. La brecha entre ellos se vuelve cada vez más pequeña. . . pero Aquiles nunca puede llegar allí. ¿Derecha?
Todos sabemos que, en realidad, Aquiles simplemente alcanzaría a la tortuga. Eso es porque la brecha entre Aquiles y la tortuga tiene un límite : cero. Claro, se necesita un número infinito de etapas cada vez más pequeñas para cerrar la brecha, pero eventualmente sucede .
Pero el sistema matemático griego no pudo explicar la paradoja de Zenón, porque desterró el cero.
Según Aristóteles, el cero y el infinito simplemente no existían; todo era finito. El universo tenía una esfera exterior y luego se detuvo abruptamente. El tiempo también era finito; en algún momento en el pasado distante, acababa de comenzar . Esa era la base de su sistema de creencias.
Pero, ¿qué sucedió antes de que comenzara el tiempo? La respuesta es nada en absoluto, cero, o no hay punto de partida, infinito. No tiene sentido negar la existencia del cero y el infinito. Sin embargo, eso es lo que sucedió en la antigua Grecia y durante la Edad Media en Occidente, debido a la enorme influencia de Aristóteles.
Más al este, sin embargo, Aristóteles no fue tan influyente.
¿Qué culturas usaron el número cero para sus avances en las matemáticas?
Los antiguos matemáticos indios y árabes abrazaron el cero e hicieron grandes avances matemáticos.
En la India antigua, no había nada que temer sobre el infinito o el cero. Si bien Aristóteles rechazó por completo estos conceptos, eran una parte clave del sistema de creencias indio. Los antiguos indios creían que el universo se creó a partir de un vacío de la nada y que era infinito, pero que debido a que el mundo surgió de la nada, algún día volvería a la nada.
Los antiguos matemáticos indios se dieron cuenta de que el cero merecía un lugar entre los números. Y esa realización abrió todo tipo de puertas.
Otra diferencia vital entre la antigua Grecia y la India se refería a la geometría. Para los griegos, la geometría estaba en el corazón de las matemáticas; los números representaban esencialmente proporciones y formas. Pero en la India, los matemáticos pensaban en los números en términos abstractos.
He aquí un ejemplo de la diferencia que hace. ¿Cuánto es 2 menos 3?
Para alguien en la antigua Grecia, esa pregunta ni siquiera tiene sentido. Si tiene un campo de dos acres, no puede restarle tres acres. Pero si los números no representan nada en particular, puedes resolver la ecuación. Y, por supuesto, obtienes -1.
Junto con los números negativos, los antiguos indios estaban felices de incluir el cero en su sistema numérico; encaja perfectamente entre los aspectos positivos y negativos. Pero todavía pensaban que era un poco extraño.
Multiplique cualquier cosa por cero y obtendrá cero nuevamente. En cuanto a la división, bueno, eso es un caos. ¿Cuántos 0 hay en 1? El matemático indio del siglo XII Bhaskara se dio cuenta de que la respuesta era infinito. Por cierto, el infinito también tenía propiedades extrañas; podías sumar o restar cualquier número, y permanecía exactamente igual.
Cuando estos avances matemáticos llegaron a los pensadores musulmanes, judíos y cristianos, fue un gran problema, y no solo por las extrañas propiedades del cero y el infinito. Las tres religiones estaban fuertemente influenciadas por Aristóteles, por lo que estos nuevos conceptos desafiaban su visión del mundo. Eventualmente, sin embargo, los tres los adoptaron.
Los cristianos fueron los últimos en aceptar el cero y, al final, fue la presión comercial lo que hizo que lo aceptaran. Los comerciantes italianos se dieron cuenta de que nuestro sistema moderno de contar con diez dígitos, conocido como el sistema árabe, era mucho más simple de usar que el sistema romano que la iglesia aún requería. Pero para entonces, ese sistema árabe incluía un dígito para el cero.
Entonces, en la Edad Media, el cero se introdujo sigilosamente en el sistema numérico occidental. Pero, aun así, fue tratado con sospecha, incluso por algunas de las mentes matemáticas más grandes.
Relación del número cero con la teología
Adoptar el cero en Occidente fue teológicamente complicado, pero produjo una revolución matemática: el cálculo.
René Descartes nació en 1596. Como tantos grandes pensadores antes que él, incluido Pitágoras, fue matemático y filósofo. Pero incluso él no abrazó totalmente el cero.
Descartes presta su nombre al sistema de coordenadas cartesianas: los ejes x e y que aprendemos en la escuela secundaria. Esos dos ejes tienen un cero en la esquina inferior izquierda por necesidad. Si comenzaste con 1, pronto terminarías con errores.
Este nuevo y poderoso sistema de coordenadas marcó el comienzo de todo un nuevo universo de avances matemáticos. Sin embargo, Descartes siempre insistiría en que el cero en sí mismo no existe realmente. Habiendo sido educado en las enseñanzas de Aristóteles, cero era simplemente un paso demasiado lejos para él.
Sin embargo, los matemáticos posteriores fueron menos escrupulosos, con resultados espectaculares.
Relación del número cero con el inicio del cálculo
Probablemente recuerde un poco de cálculo de la escuela, pero es posible que no se dé cuenta de lo estrechamente relacionado que está con el cero y el infinito. Así que vamos a repasar algunos fundamentos.
Digamos que dibuja una curva en una cuadrícula cartesiana. ¿Cómo se calcula el área debajo de él?
Puede comenzar dibujando un rectángulo debajo de la curva, uno que cubra la mayor parte del área posible. Es un buen punto de partida, pero no es muy preciso.
Para acercarse, dibuja dos rectángulos más pequeños en su lugar; de esa manera, puede cubrir una mayor cantidad del área. Tres rectángulos te acercan aún más, y así sucesivamente. Pero para obtener el área real bajo la curva, necesita infinitos rectángulos, cada uno con un área infinitamente pequeña, es decir, un área de cero.
Eso puede parecer una tontería, pero lo extraño es que funciona. Los matemáticos Isaac Newton y Gottfried Leibniz se dieron cuenta de esto casi simultáneamente y desarrollaron sistemas de cálculo. Esto les permitió calcular el área matemáticamente, aunque implicaba algunas matemáticas extrañas alrededor del cero y el infinito.
La gente encontró esto teóricamente preocupante. El obispo irlandés George Berkeley señaló que, a diferencia de otras ramas de las matemáticas, que se habían probado por completo, el cálculo se basaba en la fe: nadie entendía realmente lo que estaba pasando con todos esos ceros.
El matemático que resolvió este problema fue Jean Le Rond d’Alembert. Al igual que con la paradoja de Zeno, d’Alembert explicó la respuesta usando límites . Una secuencia puede extenderse hacia el infinito, pero aún puede acercarse a un límite finito.
Relación del número cero y su opuesto, el infinito
Los matemáticos pronto descubrieron que el cero y su opuesto, el infinito, tenían una relación compleja pero apasionante
Las ecuaciones cuadráticas son un pilar de las clases de matemáticas de la escuela secundaria. Pero eso no significa que sean sencillos. Lejos de ahi.
Tome uno aparentemente simple, por ejemplo: x 2 + 1 = 0. ¿Cuánto es x ?
Como recordarás, las ecuaciones cuadráticas suelen tener dos soluciones, una positiva y otra negativa. Y las dos respuestas a esa ecuación suenan un poco peculiares: la raíz cuadrada de -1 y la raíz cuadrada negativa de -1.
Estos números no existen, por lo que los matemáticos dicen que son imaginarios . Como tal, los llaman i y – i .
¿Qué tiene que ver esto con el cero? Nada y todo.
Una vez que permite la existencia de números imaginarios, puede combinarlos y obtener números como i + 2 o 2 i – 4. Para visualizar números como ese, conocidos como números complejos , es útil mapearlos en una cuadrícula cartesiana, con el eje x para la parte real del número (digamos, -4) y el eje y para la parte imaginaria (digamos, 2 i ).
Pero esa cuadrícula no funciona como una cuadrícula normal. Digamos que trazas el punto i un cuadrado hacia arriba en el eje y , y en cero en el eje x . ¿Qué pasa cuando elevas ese número al cuadrado? i 2, por definición, es -1. De hecho, ese punto gira 90 grados a la izquierda. Lo mismo es cierto para cualquier número complejo: multiplicarlo por sí mismo hace que gire alrededor de la cuadrícula.
Si nos quedamos en una cuadrícula bidimensional, las cosas se vuelven bastante complicadas en este punto, por lo que el matemático Bernhard Riemann se dio cuenta de que tenía más sentido visualizar las cosas en una esfera. Imagine una esfera con i en un punto y – i directamente frente a ella. Perpendiculares a esos dos puntos son 1 y -1. ¿Y qué va en los puntos superior e inferior de la esfera? Cero e infinito.
La extraña lógica de las matemáticas con números complejos revela que cero e infinito son polos iguales y opuestos, al igual que 1 y -1.
La esfera de Riemann hace que algunas ecuaciones previamente problemáticas sean más fáciles de entender. Tome y = 1/ x , por ejemplo. En dos dimensiones, parece desordenado: la curva sale disparada de la imagen hacia el infinito cuando x se acerca a cero. Pero en la esfera, tiene mucho sentido: la curva simplemente alcanza el punto más alto.
Todo esto puede sonar un poco teórico. Pero si te preguntas qué tiene que ver todo esto con el mundo real, permanece atento, porque el cero y el infinito son pilares no solo de las matemáticas, sino también de la física.
¿Cuándo surgieron el número cero y el infinito en la física?
Acabamos de hablar de números imaginarios, pero el cero y el infinito son tan reales que se hacen sentir en el mundo real de muchas maneras importantes. De hecho, sustentan muchos de los avances realizados en física durante los últimos cien años.
Un ejemplo se remonta incluso antes de eso. En la década de 1850, el físico Lord Kelvin descubrió que era literalmente imposible enfriar un objeto por debajo de -273 grados centígrados. En otras palabras, descubrió el cero absoluto .
En realidad, es imposible alcanzar la temperatura del cero absoluto, porque el cero absoluto es el estado que alcanza un gas cuando tiene energía cero. Esto es inalcanzable; siempre hay partículas alrededor que emiten energía y vuelven a calentar las cosas. Pero el cero absoluto realmente existe, como límite, en el mundo natural.
Otro cero en la física fue descubierto por el trabajo de Albert Einstein: el agujero negro. Las teorías de Einstein ayudaron a explicar un fenómeno curioso y preocupante que ocurre en el espacio profundo. Cuando una estrella masiva muere, su atracción gravitacional es tan fuerte que colapsa sobre sí misma, haciéndose cada vez más pequeña, hasta que finalmente ocupa espacio cero. Pero a pesar de ocupar cero espacio, todavía tiene masa. Y esa combinación incongruente provoca una curva en el espacio-tiempo mismo, absorbiendo todo lo que se le acerque.
Otros avances en la física tienen diferentes relaciones con el cero total. La teoría de cuerdas, por ejemplo, da el paso curioso de prohibirla más o menos, pero no de la misma manera que lo hizo Aristóteles hace tantos milenios.
De acuerdo con la teoría de cuerdas, el universo existe en diez u posiblemente once dimensiones, por lo que lo que nos parece cero puede no ser realmente cero cuando se tienen en cuenta todas las demás dimensiones. Esta teoría ayuda a explicar ciertas características enigmáticas sobre el universo, pero algunas argumentan que esto es más una filosofía que una verdadera ciencia porque no se puede probar a través de la experimentación.
Por otra parte, el cero y la filosofía siempre han ido de la mano. Desde el principio de los tiempos, el propio big bang, otro cero, por supuesto, hasta el final del universo, el cero siempre ha ejercido un poder misterioso y vacuo.
Nada se puede crear de la nada, dijo una vez el poeta y filósofo Lucrecio. Pero esa nada tiene extrañas propiedades místicas. Y todavía los estamos descubriendo hoy.