La belleza de las matemáticas y los patrones sistémicos

Actualizado el sábado, 9 octubre, 2021

A algunos se nos da peor que a otros, pero la concepción que tenemos de las matemáticas generalmente no suele ser la mejor. Pueden resultar aburridas, son difíciles, a veces nos sacan de nuestras casillas… Pero seguro que nunca te las habías planteado en términos estéticos. Este fantástico vídeo nos muestra la belleza de los números de nuestro día a día.

“Las matemáticas, bien vistas, poseen no solo la verdad, también la belleza suprema. Una belleza fría y austera, sin los preciosos adornos de la pintura o la música.”

Bertrand Russell

Normalmente no reparamos en la ciencia que se esconde detrás de nuestros actos cotidianos. El vídeo nos viene a llamar la atención sobre estos pequeños fenómenos, presentado con una gran calidad y haciendo especial hincapié en su dimensión estética.

Fuente: Beauty of Mathematics de Parachutes.tv

Hemos visto la pantalla dividida en 3 partes. A la derecha se nos muestran imágenes familiares para cualquiera de nosotros, como un cielo nublado, el encendido de una lámpara, el giro de una peonza o un azucarillo diluyéndose en el café. En la parte central se ve una representación gráfica del fenómeno matemático de dichas imágenes. En la izquierda de la pantalla, vemos las ecuaciones matemáticas que describen cada uno de estos hechos cotidianos.

La vertiente estética de las matemáticas ya ha sido ampliamente tratada en estudios científicos. Según una investigación publicada en la revista Frontiers in Human Neuroscience, la complejidad de las fórmulas matemáticas puede evocar las mismas sensaciones de belleza en nuestro cerebro que tendríamos al admirar una obra de arte o la música de un gran compositor.

La belleza es una fuente de inspiración para el ser humano, y en el caso de las matemáticas, se trata de una belleza no visible para todo el mundo. Aquellos que la aprecian activan la misma parte del cerebro cuando miran una fórmula estéticamente agradable que al apreciar grandes obras de arte o música. Una correlación que sugiere que podría existir una base neurológica para la percepción de la belleza. Este fue el resultado de mostrar a 15 matemáticos diferentes fórmulas previamente catalogadas como agradables, neutrales y feas, y monitorizar su actividad cerebral.

No nos hará falta entrever la belleza inherente a ciertas fórmulas matemáticas gracias al gran trabajo de los diseñadores franceses de Parachutes, que además de plantearnos la dimensión estética del lenguaje matemático, también nos ayuda a comprender cómo los números rigen la naturaleza y nuestra vida diaria.

Descubre cómo los patrones matemáticos ayudan a dar sentido al mundo

The Model Thinker (PDF) es una guía sobre el uso de modelos para hacer que los datos hablen. En un mundo inundado de información, arroja una luz muy necesaria sobre los patrones subyacentes al ruido y nos indica las formas en que podemos revelar esos patrones por nosotros mismos.

Gracias a la tecnología moderna, se recopilan y transmiten datos y cifras sobre sus hábitos de gasto, dietas, música favorita e incluso preferencias románticas a un ritmo sin precedentes.

Pero, ¿de qué sirven todos estos datos sin procesar? ¿Cómo hacemos algo valioso con eso?

La respuesta corta es: usando patrones y modelos matemáticos. Los modelos vienen en muchas formas, desde fórmulas matemáticas hasta gráficos. Lo que todos tienen en común es que nos permiten dar sentido a los datos. Con modelos, puede explicar fenómenos desconcertantes; diseñar productos, eventos e instituciones; e incluso predecir el comportamiento de sistemas tan diversos como el mercado de valores y la propagación de enfermedades.

Estos consejos muestran cómo los modelos pueden guiarnos en nuestra comprensión de fenómenos complejos y, a veces, contrarios a la intuición, ayudándonos a navegar por el mundo y a tomar mejores decisiones. 

En estas claves aprenderás

• cómo el modelado ayudó a recuperar un avión perdido;
• qué es exactamente una regresión lineal; y
• por qué nuestro disfrute de la pizza es una función cóncava.

En un mundo cada vez más complejo, necesitamos modelos para dar sentido a los desconcertantes sistemas que nos rodean. Pueden ayudarnos a explicar el mundo, crear nuevos diseños y predecir lo que vendrá después, pero solo si tenemos cuidado de aplicar los correctos. De hecho, para optimizar nuestros resultados, debemos intentar abordar un problema utilizando tantos modelos diversos y relevantes como podamos.

Los patrones nos ayudan a explicar, diseñar y predecir

En junio de 2009, el vuelo AF 477 de Air France se estrelló en el océano Atlántico. Después de buscar en vano durante semanas, y después de un segundo intento fallido de búsqueda un año después, las autoridades francesas finalmente recurrieron al uso de modelos de datos complejos para localizar el avión. Utilizando datos sobre corrientes oceánicas y modelos sofisticados, identificaron una pequeña región donde predijeron que podría estar el fuselaje. ¡En una semana, lo habían encontrado!

El éxito en la localización del vuelo AF 477 de Air France demuestra el poder del uso de modelos. Al simplificar el mundo en variables sencillas, los modelos reducen el ruido de fondo confuso e identifican los factores verdaderamente significativos que determinan los resultados del mundo real. ¿Suena un poco abstracto? Luego imagine modelos del mundo real como, por ejemplo, los de la física que explican las trayectorias de los misiles, o modelos ecológicos que explican la distribución de especies en un ecosistema. Cada uno de estos se basa en hechos observables para crear explicaciones de por qué las cosas suceden de la manera en que suceden.

Pero eso no es todo. Como son útiles como modelos para el análisis y visualización de datos que ya existe en el mundo, son igualmente útiles en imaginar qué cosas podrían ser similar. El uso de modelos para visualizar todo tipo de diseños, por ejemplo, políticas sociales, productos innovadores o campañas de marketing, nos permite proyectar y visualizar resultados sin comprometernos realmente con ellos. Con modelos, entonces, podemos considerar las implicaciones de nuestras elecciones y rediseñar las cosas en respuesta a nuestros descubrimientos.

Desde imaginar la forma que podría tomar un diseño , es un paso corto hasta pensar en lo que sucederá. Los modelos nos ayudan a predecir el futuro. No siempre hacen esto a la perfección, por supuesto, como sabe cualquiera que alguna vez haya sido engañado por un pronóstico del tiempo. Pero, como aprenderá en los siguientes consejos, los modelos pueden hacer que sea mucho más fácil predecir los resultados de eventos inciertos.

Varios modelos aumentan la precisión

En política, las encuestas son una realidad. Las encuestas ayudan a las personas a visualizar el estado de una carrera y, en el pasado, generalmente se consideraba que eran predictores más o menos confiables de quién ganaría. En las elecciones recientes, sin embargo, este no siempre ha sido el caso: los candidatos presidenciales se han visto favorecidos para ganar estados por abrumadora mayoría, solo para perder o pasar por alto con una victoria por poco cuando llega el día.

Hay muchas teorías sobre por qué esto es así, pero una de las razones seguramente tienen que ser los creadores de las encuestas: los seres humanos. Los humanos son falibles. Hacemos errores. Así que lo mismo es válido para nuestros modelos. Aunque pueden depender de la lógica y las matemáticas, los modelos son, en última instancia, cosas que hemos creado, lo que significa que pueden estar equivocados, al igual que nosotros.

Entonces, ¿cómo mejoramos las explicaciones, predicciones y diseños que proporcionan los modelos? ¿Qué podemos hacer para que sean más precisos y penetrantes?

Imagina que te enfrentas a una gran decisión. Si eres como la mayoría de las personas, probablemente confíes en algunos amigos cercanos. Al escuchar una diversidad de opiniones, espera tomar una decisión mejor y más racional sobre la decisión importante.

Un enfoque similar funciona con modelos. Así como es mejor hablar con algunos amigos y ver su dilema desde varios ángulos, por lo general es una buena idea consultar varios modelos en lugar de depender de un enfoque único.

De hecho, hay un teorema, llamado teorema del jurado de Condorcet , que confirma esta idea. Piense en ello en términos de un jurado de sala de audiencias. Digamos que cada miembro del jurado tiene razón la mayoría de las veces. Matemáticamente, se deduce entonces que es más probable que un grupo de jurados tome la decisión correcta que cualquier individuo. A medida que suma las probabilidades de que cada miembro del jurado tenga razón, las probabilidades de que el veredicto de la mayoría sea incorrecto disminuyen.

Esto también funciona para modelar. Si cada modelo es correcto la mayoría de las veces, agregar más modelos aumenta la precisión general. El problema es que usar muchos modelos diversos es más fácil de decir que de hacer. Por ejemplo, si estamos tratando de predecir la forma en que un estado votará en una elección presidencial, podríamos construir un modelo que clasifique a los ciudadanos según sus niveles de ingresos y otro que los clasifique según su nivel de educación. El problema aquí es que estas categorías aparentemente distintas a menudo se superponen, lo que significa que nuestra «variedad» de modelos puede terminar siendo menos diversa de lo que nos gustaría.

Las distribuciones normales subyacen a muchos modelos básicos

La mayoría de los profesores probablemente dirían que los estudiantes de C son bastante comunes. Intuitivamente, eso parece tener sentido: una C es, por definición, bastante promedio. Pero, ¿por qué es eso? ¿Qué nos hace pensar en una C como la nota media? La respuesta es simple: las calificaciones tienden a seguir una distribución normal .

Ahora, una distribución asigna probabilidades a eventos o valores. Una distribución normal es una extensión de valores que se agrupan en un patrón simétrico alrededor de una media central. También se conoce como «la curva de campana», porque el conjunto de valores tiene la forma de una campana, que se eleva suavemente, luego alcanza su punto máximo y vuelve a caer.

El punto en la parte superior de la campana es el resultado medio; en el caso de las calificaciones, es una C. A medida que las calificaciones disminuyen a ambos lados de esa media, comienza a ver esos resultados menos comunes. Luego, en los extremos de cada lado, se encuentran los raros estudiantes A + y F-.

Si esto suena bastante intuitivo, no es sorprendente, como veremos, la distribución normal surge por todas partes.

No todos los sistemas siguen una distribución normal. Tomemos la riqueza de las personas, por ejemplo. Un puñado de personas muy ricas posee tanto como millones de personas más pobres, lo que significa que la distribución de la riqueza se inclina hacia relativamente pocos valores atípicos ricos.

Cuando un sistema sigue una curva de campana, su relación con los valores atípicos es muy diferente: cada desviación de la media es tan probable como una desviación proporcional en la dirección opuesta.

Piénselo de esta manera: si la altura promedio de un hombre es 5 ‘9 «y la altura sigue una curva de campana, entonces deberíamos ver tantos hombres que miden 5’ 6» como hombres que miden 6 ‘, dado que cada uno es tres pulgadas de la media.

A pesar de estas desviaciones equivalentes, las distribuciones normales trazan un conjunto de datos en el que los valores atípicos son raros, y la mayoría de los valores gravitan hacia una media frecuente. Cuanto más se aleje de esa media, menos común será el resultado en cuestión.

Saber si un sistema dado produce una distribución normal es de gran importancia. La altura, por ejemplo, sigue una curva de campana, lo que significa que las aerolíneas no construyen aviones que atiendan a pasajeros de nueve pies.

Muchos sistemas importantes pueden modelarse como leyes de potencia

La distribución normal no es el único tipo de distribución importante. Algunos conjuntos de datos se ajustan a lo que se llama distribución de cola larga. ¿Recuerda que la distribución normal tiene la forma de una campana simétrica? Bueno, la distribución de cola larga se parece a la cola de una criatura que se encuentra justo fuera del gráfico, su «cola larga» corre a lo largo del eje horizontal cuando se grafica la distribución.

Un tipo común de distribución de cola larga es lo que se conoce como distribución de ley de potencia o «ley de potencia». Una ley de potencia generalmente describe un sistema en el que algo se amplifica o exagera.

Para visualizar el tipo de amplificación que describe una distribución de ley de potencias, piense en la riqueza. Si graficara la forma en que la riqueza genera más riqueza cuando se invierte, estaría viendo un ejemplo bastante bueno de una ley de poder. Lo mismo ocurre con la venta de libros, la propagación de enfermedades infecciosas o la popularidad de los videos virales.

Para explicar cómo algunas de estas cosas se amplifican con el tiempo en un sistema de ley de potencias, existe el modelo de apego preferencial . Describe cómo ciertas cosas «crecen a tasas relativas a sus proporciones». En otras palabras, más lleva a más. Cuando grafica ese tipo de crecimiento, tiende a terminar pareciendo una distribución de ley de potencias.

Analicemos eso. Imagínese a los estudiantes que llegan a un campus universitario. El primer estudiante en llegar inicia el primer club de la universidad. Ahora, cuando llega el segundo estudiante, tiene una opción: unirse al club existente o comenzar un segundo. Lo más probable es que se una al grupo existente.

Para cuando llegan los primeros diez estudiantes, han creado tres clubes, lo que significa que cuando llega el undécimo estudiante, se enfrenta a tres opciones. Únase al grupo original, que ahora contiene siete miembros; únete al segundo club, que contiene dos; o unirse al tercer club, que tiene un solo miembro.

Según el modelo de vinculación preferencial, estos clubes serán, en promedio, atractivos en proporción a su tamaño. El undécimo estudiante se unirá al grupo de siete el 70 por ciento del tiempo, el grupo de dos el 20 por ciento del tiempo y el estudiante solitario solo el 10 por ciento del tiempo. En pocas palabras, en una ley de potencia, el crecimiento facilita el crecimiento.

La regresión lineal puede ayudarnos a descubrir si las variables están correlacionadas

Aunque los modelos lineales son algunos de los más simples de todos los modelos, pueden ayudar a explicar algunos de los sistemas en funcionamiento en nuestro mundo, como los efectos de la educación sobre los ingresos o del ejercicio sobre las ganancias en la esperanza de vida. Entonces, ¿cómo sabemos si un fenómeno se puede explicar usando un modelo lineal?

Bueno, cuando grafica una función lineal, obtienes una línea recta. Este hecho es importante: significa que si traza un conjunto de valores en un gráfico y luego puede dibujar una línea recta a través de ellos, la relación entre las variables se puede describir mediante un modelo lineal.

En otras palabras, puede probar que las variables en cuestión están asociadas. Este proceso se llama regresión lineal .

Trazar valores en los ejes X e Y y comprobar si los valores forman una línea recta se llama regresión lineal , una técnica que nos permite modelar la relación entre varios sistemas sencillos.

Imaginemos que sospecha que existe una asociación lineal entre la cantidad de té que beben las personas y su riesgo de sufrir depresión. Después de trazar las variables relevantes en un gráfico, es posible que descubra que sus valores están por todas partes y que no hay esperanza de trazar una línea recta a través de ellos. En ese caso, su hipótesis tendría que ser abandonada. 

Si, por otro lado, encuentra que puede trazar una línea recta entre los valores en el gráfico, entonces ha establecido una correlación entre beber té y las tasas de depresión. En ese caso, se dice que el signo de la asociación es negativo. Eso solo significa que un aumento en una variable está asociado con una disminución en la otra. Si un aumento en una variable estuviera asociado con un aumento en la otra, el signo sería positivo.

Pero hay una advertencia importante. Identificar una asociación solo muestra que las variables se correlacionan: no prueba la causalidad. Puede ser el caso de que los bebedores de té simplemente suceden a experimentar menos depresión.

Para probar la causalidad, necesitaría realizar un experimento completo, no solo una regresión lineal. Pero una regresión lineal puede orientarlo en la dirección correcta al sugerir las vías que vale la pena explorar con experimentos y análisis más precisos.

Las funciones cóncavas y convexas pueden ayudarnos a modelar algunos sistemas muy diversos

Imagina que has estado en una caminata larga y no has comido en horas. Tienes hambre, por decir lo menos, y para recompensarte, pides una pizza grande tan pronto como llegas a casa.

La primera rebanada es divina. El segundo también es delicioso. Pero cuando se acerca al final de su comida, ni siquiera está prestando atención a su sabor. Tu atención simplemente se ha desviado.

Un gráfico de su disfrute probablemente no terminaría siendo lineal. Llegaría a su punto máximo desde el principio, y luego se curvaría y descendería suavemente a medida que su hambre disminuía y su interés disminuía. En otras palabras, graficaríamos una función cóncava .

El disfrute a menudo se puede modelar utilizando una función cóncava, que forma una curva decreciente. 

En un dominio completamente diferente, los costos unitarios de producción de una empresa también se pueden modelar de esta manera. En otras palabras, a medida que una empresa produce más y más cosas, los costos de producción disminuyen gracias a las economías de escala. La línea de pendiente descendente de esos costos es cóncava.

La ganancia por unidad, por otro lado, probablemente se esté curvando hacia arriba al mismo tiempo, haciendo una función convexa . Una función convexa es una cóncava al revés; en lugar de curvarse hacia abajo, se eleva.

Las funciones cóncavas y convexas pueden ayudarnos a predecir cambios. Cuando consideramos el futuro, a menudo nos equivocamos al esperar que el cambio sea lineal. Si el crecimiento económico de China es del 10 por ciento este año y no hay razón para esperar una recesión, asumimos intuitivamente que probablemente también crecerá un 10 por ciento el próximo año.

De hecho, muchos de los sistemas que nos rodean deben modelarse de forma no lineal. De 1960 a 1970, la economía de Japón también creció un 10 por ciento interanual, pero a medida que su PIB per cápita se acercó al de los países occidentales, su crecimiento se estabilizó en una curva cóncava. Y eso es exactamente lo que sucedió en China también, donde el crecimiento económico ha promediado entre el 6 y el 7 por ciento anual desde 2013.

En resumen, los modelos no lineales son útiles porque una gran cantidad de sistemas de interés e importancia operan de manera no lineal.

Encontrar patrones o modelar humanos es un esfuerzo complicado

Las personas pueden ser problemáticas: si eso es cierto cuando se trata de la vida real, entonces es doblemente cierto cuando se trata de modelar.

A diferencia de las bolas de boliche o los ciclos climáticos, los seres humanos tienen capacidad de acción. Tenemos mentes propias y las usamos para tomar decisiones. Experimentamos presión social, tenemos preferencias diferentes y, a menudo, cometemos errores. A veces, incluso podemos aprender de esos errores.

Eso es lo que nos hace fascinantes, pero desde el punto de vista del modelaje, también nos hace frustrantes. Entonces, ¿eso significa que es inútil intentar modelar el comportamiento humano?

Siempre que intentamos modelar el comportamiento humano, hay algunas opciones y suposiciones que no podemos evitar. La primera decisión que tenemos que tomar es entre dos formas diferentes de representarlo: como basado en reglas o como racional .

El comportamiento basado en reglas se puede dividir en dos tipos principales: fijo y adaptativo. Las reglas fijas no evolucionan a medida que pasa el tiempo y cambian las circunstancias. Si tuviéramos que formular una regla fija en palabras, podríamos pensar en algo como «Si la conversación se calma durante más de 20 segundos, cambie el tema».

Una regla adaptativa, por otro lado, cambia y evoluciona en respuesta a nuevas circunstancias e información novedosa. Una regla adaptativa podría permitir que los silencios se prolonguen por más de 20 segundos si se hiciera evidente que estas pausas conversacionales finalmente condujeron a mejores discusiones.

Por el contrario, el modelo de comportamiento humano del actor racional supone que las personas toman decisiones racionales para lograr resultados óptimos. En lugar de seguir reglas establecidas, calculan cuál es la mejor acción en una situación determinada y actúan sobre la base de esa información.

Piense en alguien comprando una casa y sopesando tranquilamente sus opciones: la cantidad de habitaciones que tiene cada casa, la vista desde las ventanas de la cocina, incluso las escuelas en cada vecindario.

Ni los modelos basados ​​en reglas ni los de actor racional funcionan para todas las situaciones. Cuando las elecciones son simples o tomadas por tomadores de decisiones sofisticados, es probable que sean racionales. Pero cuando una elección es bastante baja, como qué color de abrigo comprar, es probable que la gente aplique reglas fijas. En otros, como decidir en quién confiar en una negociación delicada, las personas pueden aplicar reglas de adaptación.

Cuando se trata de modelar humanos, rara vez podemos esperar una precisión completa. Pero elegir los modelos adecuados puede hacer que nuestras predicciones, diseños y explicaciones sean mucho más precisas.